영주권 갱신을 한국내에서 진행하시는 것은 어려울듯 사료됩니다. 하지만 재입국 허가서 없이 해외에서 1년이상 체류하신후 미국에 영주권 포기한것으로 간주가 되지 않으시려면, 미국대사관이나 영사관으로부터 특별 이민비자(Special Immigrant Visa)를 받으시는 방법이 있습니다. 특별 이민비자란 미국 영주권을 포기하지 않고 미국에 영주하겠다는 의사가 있음을 증명함으로서 받으실수 있는 비자인데, 신청자가 미국을 떠나 있던 기간, 출국 목적, 세금신고 여부, 직계가족 미국 거주 여부, 미국내 고용관계, 미국내 자산 소유, 은행 어카운트 보유, 신용카드, 운전면허증 소지 등 신청자(영주권자)와 미국과의 연계를 보여주는 증거 등을 토대로 해서 특별 이민비자 발급여부를 결정하게 됩니다. 물론 어머님의 병원 치료 기록또한 어쩔수 없는 사유로 간주가 되어서 도움이 되실듯 사료됩니다.
제 조언이 조금이라도 보탬이 되셨기를 바랍니다.