보통 한번 login 된 wifi는 기기마다 자동으로 연결되기 때문에 SSID가 available networks에 보이지 않습니다. 이미 연결되어 있으니까요.
Router에 cable로 연결했을때 internet 사용이 가능하면 internet outage와는 상관없습니다. 또한 internet outrage와 wifi on/SSID와도 상관 없습니다. Internet outage 때 router를 따로 만지지 않으셨다면 SSID 가 사라져 wifi 가 안된다는게 좀 이해가 되지 않지만 router setting 에 가셔서 Wifi 가 on 으로 되었는지 확인하시고 on 으로 되었는데 wifi가 연결이 안 되어있고 SSID도 안 보인다면 router 를 hard reset 하십시요.
Hope this helps, good luck.